SOME PERMUTATION BINOMIALS and WEAK CARLITZ`S CONJECTURE

Abstract

論文提要內容:\r\n壹 引言.\r\n 近年來，訊號傳送的途徑，已擺脫了傳統上著重管線傳送的優勢；有愈來愈多的訊號彌漫在廣闊的空間裡，而這種無線式的傳送所需面臨的問題是：不具有排他性.任何有接收器材的非原始接收者都可以截聽到訊息，由此因應而生的保密技術格外受矚目.密碼學(Cryptography)便是滿足此需要的學問.本論文所探討的排列多項式(Permutation Polynomial)是密碼學中重要的工具之一.\r\n貳 論文主體.\r\n 所謂排列多項式，即是佈於代數體上的多項式，把此多項式當成函數而作用於代數體(Field)上，如果此函數據有一對一的性質，則是排列多項式.即f(x)=a_0+a_1 x1+⋯+a_n xn ϵ Fq[X] 且f(a)≠f(b)，a,bϵFq，a≠b.在論文中，介紹先進學者對排列多項式的認識.如:Lagrange’s interpolation是利用函數值來描繪多項式.著名的學者Carlitz，利用特殊多項式來合成出排列多項式，論文中有更進一步的合成法提出.而Hermite跟Dickson學者則提出f^t函數其冪次的變化情形，來判別排列多項式之是否，是最通俗的判別理論.\r\n 此外，由吾人所蒐集的資料中發現，在祇有兩項的多項式中，被發現到其他更簡捷快速的判別方法，故二項式的多項式的探討是本論文的第一主題.對於xk+bxJ ϵ Fq[X]，給予固定類型的q，k，j情形下，祇須檢定b是否具特殊性質就可決定是否為排列多項式，這是一種方法，另有學者並不固定q，k，j，反而從q，k，j數字下手，找尋出某種關連性，其結果使得係數b，只有當b=0時才有機會是排列多項式，剩下單項式的判別過程，就很容易了.上述兩方法本論文網羅大部份有關論文，綜合各家之長，並適當給予不同於原作者的新觀點證明方法.\r\n至於本論文第二主題是著名的Carlitz`s conjecture.此預測敘述:對於任何具有最高冪次是偶數的多項式，必定存在一個自然數k，使得給定的代數體，其元素各數只要超過k，則此多項式必定不是排列多項式.此預測當degree n=10，12，14 and 2^m時已被證實為真.本論文僅就n=2^m，做系統地探討及重新證明.另外由[2]，[8]和[9]中，不難發現在特殊多項式族的限制之下，自然數k存在的機率更大，甚至可給出一個bound.故本論文提出weak Carlitz’s conjecture的概念；至於bound的問題：如多項式族{x^o+ax^J ∣j=0,1,2,3,4,5,6,7}.由[2]及[3]幾乎可得到最小之bound，可惜仍功虧一簣.最後，本論文提供估算bound的一個方法，以改善[8]中之bound.\r\n參 結語.\r\n 本論文所論的兩主題，對於佈於代數體上的多項式是否為排列多項式，在判別的過程上應有相當的助益才是